Hoppa till huvudinnehåll

Kaj Arnö: Ett försvarstal till matematiken - "det är svårare att försvara en alfahanne"

kaj arnö vid katedral i Prag, håller sig om hakan
Kaj Arnö tänker i Prag kaj arnö vid katedral i Prag, håller sig om hakan Bild: Kaj Arnö Kaj Arnö

Jag hade tänkt skriva ett försvarstal till matematiken. Ett lyriskt tal som prisar matematikens skönhet, och ondgör sig över den styvmoderliga behandlingen matematiken utsätts för, av humanismens kulturella huvudfåra.

Men så pejlade jag folks stämningar före jag fattade pennan, där "folk" åsyftar vänner och bekanta med både ingenjörsteknisk och humanistisk bakgrund. Och det visade sig att tiden kört förbi mig.

Matematiken har tydligen i viss mån lyfts upp på en piedestal, då det gäller värdering av skolprestationer.

Urvalsmekanismer för inträde i fortsatt utbildning sägs övervärdera matematiken, också för studieinriktningar som inte förutsätter djupare matematisk kunskap.

Detta enligt ett löst antagande om matematiken som ett slags representant för logiskt tänkande eller mått på intelligens.

Dit for mitt tilltänkta angreppssätt, med matematiken som underdog.

Det är svårare att försvara en alfahanne, vilket många tydligen upplever matematiken vara.

Under min senaste löptur – jag brukar utveckla mina tankar just springande – kom jag i stället på en mer vågad analogi: Math shaming i stället för fat shaming.

Men också den tanken haltar, och kan lätt slå bakut.

Matematik platsar inte som allmänbildning, och det är galet

Min grundtanke är positiv: Att man inte kan matematik är inget att skämmas för.

Men det är sannerligen heller inget att skryta med, för matematik är inte bara nyttigt utan vackert.

Det som får mig att resa ragg är då förment bildat folk torgför sin okunskap i matematik, som vore det en dygd. Eller då bildningskanon inte omfattar matematik.

Boken "Bildung, alles was man wissen muß", Dietrich Schwanitz' klassiska tyska motsvarighet till Thomas Magnussons "Vad varje svensk bör veta", har de mest detaljerade uppgifter om Goethe, Schiller och Hoffmann, men inget om Gauss, Sierpiński och Hilbert.

Och detta som ett medvetet val, med ingen större logik än "matematik och naturvetenskaper är inte med, för det brukar inte anses höra till bildningskanon".

Cirkelresonemang av den i övrigt förträfflige Schwanitz.

Det är svårare att försvara en alfahanne, vilket många tydligen upplever matematiken vara

Min logik: Om du skryter med att du inte kan matematik, ska du skämmas! Förutsatt förstås att du inte ogillar bildning i största allmänhet: stolt påtalar att du aldrig går på teater, högljutt hävdar att konst är slöseri med tid och pengar, och glatt förkunnar att du låter bli att ens med tång fatta tag i en skönlitterär bok.

Då vore det ju åtminstone konsekvent om du också tycker det är okej att framhäva ditt ointresse för matematik.

Edith Södergran med hund
Gillar man inte Edith så är heller det inget att skryta med Edith Södergran med hund Bild: Svenska Litteratursällskapet Edith Södergran

Själv har jag förstånd att sticka under stol med att jag inte begriper mig på poesi. Ändå vet jag en del om Edith Södergran och känner till begreppet hexameter.

Och jag köpte en bok av Tomas Tranströmer, fast jag inte orkade läsa den. Kanske det ännu blir poesiuppskattare av mig? I varje fall talar vi om en brist hos mig, inte hos poesin.

Jag är inte stolt över att jag inte nått någon vart med poesin, trots flere försök. Och kanske det djupt inne i mig bor en liten poet, jag brukar ju dikta snapsvisor?

Två matematiska tankenötter från Nagu

Dikten förtätar en tanke eller en känsla i kort form. Den matematiska tankeleken gör likadant, och kan vara lika handgriplig och vardagsnära.

Låt mig bjuda på en tankenöt eller två, båda med bakgrund i Nagu.

Anekdot ett: Jordens krökning.

I Nagu finns det en bro, Norrströmsbron, från vilket fotografiet till "världens vackraste frimärke" är taget.

Fotot pekar i riktning mot färjan till Högsar, som ligger på ungefär två kilometers avstånd. Då jag med min son paddlade denna sträcka för något år sedan, kom jag på en tankenöt där frågan gäller hur rund jorden är.

Finlands vackraste frimärke 2017 är ett foto taget från Norrströmsbron i Nagu.
Norrströmsbron på frimärke Finlands vackraste frimärke 2017 är ett foto taget från Norrströmsbron i Nagu. Bild: Jari Hakala, Stiina Hovi / Posten frimärken,Nagu,frimärke,bro över norrströmmen

Låt oss anta att det är bleke, att jorden är ett klot, och att avståndet från Norrströmsbron till Högsarfärjan är exakt två kilometer.

Låt oss spänna upp ett snöre mellan en av brons pelare (A), exakt vid vattenytan, och färjfästet (B), exakt vid vattenytan. Eller för enkelhetens skull skicka en laserstråle samma väg, så vi talar om en rät linje, där sträckan AB är 2 km.

Eftersom jorden är rund går laserstrålen under vattnet. Då vi paddlat halvvägs, alltså 1 km, ligger laserstrålen som djupast. Hur djupt?

Frågan är tudelad.

Del ett: Skaka ur ärmen. Gör en uppskattning, som baserar sig på att du bott på denna planet en rätt lång tid, och förhoppningsvis samlat erfarenheter kring jordens krökning.

Du har hundra paddeltag på dig att komma med en gissning.

Kaj Arnö
Kaj Arnö Bild: Yle/Peter Lüttge tour de svenskfinland

Del två: Räkna exakt. Snart tar vi iland, och du har din telefon med dig. På telefonen finns en kalkylator-app, som du får använda. Att slå upp något på nätet vore fusk.

Anekdot två:

Midsommarsolen. Kyrkbacken i Nagu ligger nästan precis på 60:e breddgraden. Det blir inte ordentligt mörkt ens då solen är som lägst, men det är inte nog för Bertel Nagubo.

Bertel vill nämligen kunna se en glimt av solen natten igenom, och tänker därför bygga en åskledare ovanpå Nagu kyrka (kyrktornets uppskattade höjd: 25 m över havsytan).

Huru hög bör åskledaren vara, för att solen mitt på midsommarnatten ska synas från åskledarens topp? (Också denna fråga löses med fördel i tudelad form – först uppskattning, sedan exakt kalkyl).

Och kulturhistorien: Det skotska kaféet

Jag lämnar nu de två gåtorna i läsarens händer (återkommer med ett facit i slutet av artikeln), och övergår i stället till temat matematikens kulturhistoria, i ett försök att övertyga den mest inbitne humanist om hur vackert sammanflätad matematiken är med den mänskliga kulturen som helhet.

Också detta blir en anekdot, men inte en gåta med ett svar – utan en situationsbild med reflektioner från en resa till västligaste Ukraina.

Förhandsvarning: Anekdoten handlar om funktionalanalys, något nästan bara yrkesmatematiker ens behöver veta vad det går ut på.

Jag hoppas läsaren ändå kan se det fina i kråksången, eller i detta fall gåslätet.

caféskylt
Skotska caféet caféskylt Bild: Kaj Arnö Cafe

Anekdot tre:

Det skotska kaféet. Allmän nyfikenhet förde mig till en stad med det historiska namnet Lemberg, ett äventyr jag beskrev i artikeln Kaj Arnö: Kalla den vad du vill, Lviv, Lwów eller Lemberg – i den ukrainska staden har minoriteter levt sida vid sida i hundratals år.

Jag skildrade stadens skiftande öden, före Första världskriget hörande till Österrike-Ungern. Under mellankrigstiden var staden en del av Polen. Befolkningen var typ 50% polsk, 30% judisk (ofta tysktalande) och 20% ukrainsk.

Math shaming i stället för fat shaming

Detta mellankrigstida Lwów blomstrade intellektuellt och kulturellt. Gruppen Lemberger Mathematikerschule träffades i Kawiarnia Szkocka (skotska kaféet) och inte bara diskuterade svåra problem, utan skapade den matematiska vetenskapsgrenen som går under namnet funktionalanalys, främst under ledning av Stefan Banach och Hugo Steinhaus.

Banach-Steinhaus' sats är berömd bland matematiker, så också Auerbachs lemma (efter Lemberg-matematikern Herman Auerbach), men urtråkig i jämförelse med Banach-Tarskis paradox.

Gugla den, så ser du att "ett givet klot i en tredimensionell rymd kan sönderdelas i ett ändligt antal delmängder och sedan sättas ihop igen på ett nytt sätt, så att två identiska kopior av originalet erhålls".

Matematiskt trolleri made in Lwów 1924.

matematisk text
"Boken" matematisk text Bild: Kaj Arnö matematik

Klart att jag måste besöka Kawiarnia Szkocka. Ett eldorado för en nördig, kulturhistoriskt intresserad matematiker! Tavlor på Steinhaus, Banach, Auerbach jämte kolleger hänger på väggen.

Man kan bläddra i en replika av Księga Szkocka, Den skotska boken, till vilken man vid slutet av kvällen överförde slutsatserna av klottret från bordsskivan.

Den är främst avfattad på polska, men också mycket franska (Banachs doktorsavhandling hette "Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales“) och lite tyska, ibland rentav engelska och ryska.

Man verkade kunna en hel drös med språk, och välja aftonens språk utgående från sällskapet. Min blick faller på en sida daterad 4.7.1937, då man hade J. v. Neumann som gäst.

Den gode von Neumann betecknas som en av 1900-talets största matematiker och som en av informationsteknikens fäder. Historiens vingslag!

Matematiken har en inneboende skönhet, som tilltalar vårt öga på ett lika fundamentalt sätt som en vacker människokropp

På den lättsamma sidan noteras den prominenta iscensättningen av en berömd gås.

Den bara 29-årige svenske KTH-matematikern Per Enflo fick 1973 ta emot en levande gås som belöning för att han hade lyckats skapa en "explicit konstruktion av ett separabelt Banachrum som saknar Schauderbas".

Han hade därmed löst Skotska bokens problem 153, hela 36 år efter att Stanislaw Mazur 6.11.1936 nedtecknat problemet – som uppfattades som särdeles svårknäckt och därför fick en för 1936 speciellt värdefull belöning, en levande gås.

Viltkött - såsom kanadagås - är ett klimatsmart val. Men det är svårt att få tag på vilt, och skribenten frågar sig om dagens konsument vet hur man handskas med råvaran. Bild: YLE/Robesus Inc.
Det finns gäss av olika slag, vissa är belöningar, andra inte Viltkött - såsom kanadagås - är ett klimatsmart val. Men det är svårt att få tag på vilt, och skribenten frågar sig om dagens konsument vet hur man handskas med råvaran. Bild: YLE/Robesus Inc. Bild: YLE/Robesus Inc. kanadagås

När Per fick sin gås av Stanislaw lyssnade hela Polen vid radion. Och gåsen syns i loggan för restaurangen än idag.

Tyvärr tog det slut med matematiken i Lemberg. Auerbach avrättades som jude i koncentrationsläger 1942.

Steinhaus var också jude, men lyckades undslippa förföljelserna och hörde till den från Lwów fördrivna intelligentsian som återupprättade universitetet i Breslau, där han levde fram till 1972.

Banach dog en naturlig död 1945 (han rökte som en borstbindare), Tarski levde och verkade i Berkeley fram till 1983.

Funktionalanalysen och vardagen

Så långt anekdoten. Men vilken är slutsatsen? Vad blir min lärdom?

Min huvudtanke är: Släpp nyttotänket! Jag glädjer mig åt historiens skönhet, åt hur man i Lemberg lyckats lyfta fram hur matematiken är integrerad i samhället, i världshistorien.

Och jag låter tanken sväva. Funktionalanalysen skapades i Lemberg under mellankrigstiden. Och just funktionalanalysen var orsaken att jag i tiden bytte avdelning i Tekniska högskolan.

Panorama över Lviv
Lemberg Panorama över Lviv Bild: Kaj Arnö Lviv

Jag hade en obligatorisk kurs i funktionalanalys, på avdelningen för teknisk fysik, medan kursen i marknadsföring inte bara var frivillig – den kunde inte ens räknas in i mitt studieresultat, då jag redan avklarat alltför många andra frivilliga kurser.

Jag bytte till produktionsekonomi, av pragmatiska skäl. Marknadsföringen blev obligatorisk, och jag var övertygad om att aldrig mer återse funktionalanalysen.

Men på Skotska kaféet i Lemberg kom verkligheten ikapp.

Tanken svävade vidare. Det tar tid att lära sig vad ett Banach-rum är, eller en Schauder-bas.

Men inte går det heller i en handvändning att lära sig hålla isär Dostojevski från Tolstoj. Vilkendera skrev Krig och fred, vilkendera Brott och straff? Vem gav oss Anna Karenina, vem furst Myschkin?

Fotografi av Leo Tolstoj med hustrun Sofia Tolstoj den 23 september 1910 på parets 48:e bröllopsdag, en kort tid innan Leo Tolstoj i vredesmod avvek från hemmet och snart därefter dog på en järnvägsstation.
Lev och Sofia Tolstoj Fotografi av Leo Tolstoj med hustrun Sofia Tolstoj den 23 september 1910 på parets 48:e bröllopsdag, en kort tid innan Leo Tolstoj i vredesmod avvek från hemmet och snart därefter dog på en järnvägsstation. Bild: wikipedia Lev Tolstoj,Sofia Tolstoj,tolstojanism

Att förstå dessa verk djupare förutsätter förstås att man läser dem på ryska. Det är vackrare så, endast då kommer nyanserna fram. Men det tar tid att lära sig ryska så bra att man kan njuta av Dostojevski.

Kanske det går fortare att bli hemmastadd i Banach-rummet? Och kanske det rummet är lika vackert som det vackraste rummet i Eremitaget?

När jag blir stor vill jag bli vän med både Banach och Bulgakov! Men före det måste jag bygga upp en stabil Schauder-bas för min allmänbildning.

Alhambras symmetrier och M. C. Eschers konst

Anekdot fyra: Alhambra och symmetrierna. Islam förbjuder konst som avbildar människor, men abstrakta mönster duger bra. De som besökt Alhambra i Andalusien vet att de mest varierande mönster dekorerar väggarna.

Först i slutet av 1800-talet lyckades man matematiskt bevisa att det finns exakt 17 olika former av symmetrier i planet, eller "sätt att lägga parkett i det euklidiska planet".

triangel symmetrier
symmetrierna triangel symmetrier Bild: Kaj Arnö symmetri

Endel hävdar att alla sjutton förekommer redan i Alhambra, men även om de lärde är oense, är det fascinerande hur modern matematisk teori är förankrad i medeltida konst.

Och hur denna medeltida islamska matematikkonst plockats upp av holländaren M. C. Escher, vars etsningar prytt alla mina tamburer under de senaste trettio åren.

Alhambra var Eschers inspirationskälla.

valvbågar
Utan matematik, inga valv! valvbågar Bild: Kaj Arnö Alhambra

Matematiken stöter man på var som helst

Matematik är vackert. Matematiken har en inneboende skönhet, som tilltalar vårt öga på ett lika fundamentalt sätt som en vacker människokropp.

Matematiken berör precis allt i livet, man stöter på den varsomhelst. Zermelo-Fraenkel-mängdläran är grunden för snart sagt all dagens matematik, och namngiven efter Ernst Zermelo (uttal tsärMÉlo) och Abraham Fraenkel.

ornament i alhambra
Alhambra ornament i alhambra Bild: Kaj Arnö Alhambra
arabisk text på vägg i alhambra
Alhambra arabisk text på vägg i alhambra Bild: Kaj Arnö Alhambra

Det visar sig att Fraenkel gått i Luitpoldgymnasium i München, samma skola som min dotter besökt i åtta år, efter Granhultsskolan i Grankulla.

Matematiken har berömda finlandssvenska representanter: Rolf Nevanlinna, Ernst Lindelöf, Lars Ahlfors.

Ahlfors (1907-96) var 1936 en av de två första vinnarna av Fields-priset, ett pris som kallats "matematikens Nobelpris".

Jag kunde fortsätta den lyriska beskrivningen av matematikens beröringsytor med resten av den mänskliga kulturen, men väljer att i stället ge facit till tankenötterna.

Kuvassa maapallo avaruudesta käsin.
Krökt rum Kuvassa maapallo avaruudesta käsin. Bild: Yle / Uusi Päivä En ny dag (tv),UPplus,jorden

Facit 1: Jordens krökning

Jordens krökning: Jag har hört allt från 1 mm till 80 meter, som svar på hur djupt laserstrålen ligger under vattenytan, halvvägs mellan Norrströmsbron och Högsarfärjan.

Jag har frågat dussintals personer. Näst bäst gissade förra bankdirektören i Nagu, 5 cm, bäst hans hustru, 7 cm. Rätt svar 7,8 cm. Och svaret härleder man med Pythagoras' sats a2+b2=c2. En rätvinklig triangel, långa sidan c (hypotenusan) är jordens radie, ena kortsidan a (kateten) är 1 km.

Andra kortsidan b kan man räkna ut med räkne-appen då kajaken tagit iland. Och svaret är c-b, vilket blir 7,8 cm.

Jordens radie behöver man inte kunna utantill, det räcker att komma ihåg hur längdenheten meter ursprungligen definierats. Avståndet från ekvatorn till nordpolen är 10000 km.

Jordens omkrets är 40000 km, och om 2πr = 40000, kan samma räknedose-app få fram att jordens radie 40000/2π är sisådär 6366 km. Högstadiematematik.

Kaksi tyttöä kulkee hämärässä kesäistä polkua lehdossa.
Midsommarskymning Kaksi tyttöä kulkee hämärässä kesäistä polkua lehdossa. Bild: Nella Nuora / Yle Midsummer spells,midsommar,Skymning

Facit 2: Bertel Nagubos åskledare

Midsommarsolen är i praktiken det svårare problemet, även om också det bygger på Pythagoras och klaras med högstadiets matematik. Ljusets brytning i atmosfären försvårar saken.

Utan atmosfären skulle solen synas natten igenom exakt vid polcirkeln, 66,5°. Men brytningen hjälper, ungefär en grad. Och solen är inte heller punktformad, utan har en rymdvinkel om en halv grad.

Så höjden på åskledaren ovanpå Nagu kyrka blir olika, beroende på om Bertel Nagubo vill se bara en liten glimt av solen, halva solen, eller hela solen.

Nagu kyrka
Kyrkan i Nagu Nagu kyrka Bild: YLE/Marina Saanila nagu kyrka

Optimister spekulerar i om man kanske kunde se solen från Smörasken på Högsar, knappa 60 meter över havet. Nej, midsommarnattssolen syns inte ens från ett flygplan över Nagu.

Det blir över 30 km, och härledningen är inte trivial (den är heller inte kort, så, njut av de matematiska symbolernas skönhet eller scrolla ner för att direkt komma till svaret!).

matematikexempel
matematikexempel Bild: Kaj Arnö matematik

Värden som behövs:

Φp = 66,57° = polcirkelns latitud

Φn = 60,195° = latituden för Nagu kyrka

r = jordens radie = 40000/2π (i km)

Vi definierar

h = solåskledarens höjd

d = distansen i rät linje från åskledarens topp till polcirkeln

Definitionen för tangens

tan(Φp - Φn) = d/r

d = r tan(Φp - Φn) = 711,3 km

Pythagoras sats

a2 = b2 + c2

(h+r)2 = r2 + d2

h2 + 2hr + r2 = r2 + d2

h2 + 2hr = d2

h2 + 2rh - d2 = 0

Andragradsekvation med p och q (men vi beaktar att h > 0)

h = -p/2 +/- sqrt((p/2)2 - q)

h = -r +/- sqrt(r2 + d2)

h = sqrt(r2 + d2) - r

h = sqrt(r2 + r2 tan2(Φp - Φn)) - r

h = sqrt(r2 (1 + tan2(Φp - Φn))) - r

h = r sqrt(1 + tan2(Φp - Φn)) - r

h = r (sqrt(1 + tan2(Φp - Φn)) - 1) = 39,6 km

Förenkla, "men h är så litet, så h2 är nästan = 0"

2rh = d2

h = d2/2r

h = (r tan(Φp - Φn))2/2r

h = r2 tan2(Φp - Φn)/2r

h = r tan2(Φp - Φn)/2

Python-kod 1: Punktformig sol

from math import pi, tan, radians, sqrt

fi_n = radians(60.195)

fi_p = radians(66.57)

r = 40000/2/pi

h1 = r * (tan(fi_p - fi_n)**2) / 2

h2 = r * (sqrt(1 + tan(fi_p - fi_n)**2) - 1)

>>> h1, h2

(39.73378725805457, 39.610558572851524)

geometrisk bild
geometrisk bild Bild: Kaj Arnö geometri

Python-kod 2: Solskivan är ju en halv grad bred

φs = solskivans bredd vid midsommar = 31'28"

hhela = solåskledarens höjd om Bertel vill se hela solen

hskymt = solåskledarens höjd om Bertel vill se hela solen

hdiff = höjdskillnaden (hhela - hskymt)

tan φs = hdiff / d

hdiff = d tan φs

hdiff = r tan(Φp - Φn) tan φs = 6,5 km

hhela = h + hdiff/2 = 43 km

hskymt = h - hdiff/2 = 36,5 km

fi_s = radians(31/60. + 28/3600.)

h_diff = r * tan(fi_p - fi_n) * tan(fi_s)

h_hela = h + h_diff / 2

h_skymt = h - h_diff / 2

>>> h_diff, h_hela, h_skymt

(6.510645158538744, 42.989109837323944, 36.478464678785194)

Svar: Bertel bör bygga åskledaren 36,5 km hög, om han nöjer sig med att se en skymt av solen. Vill han se hela solen, måste han bygga den 43 km hög.

I detta svar beaktar vi inte den atmosfäriska refraktionen, att luften bryter ljuset. Den ryska Wikipedia-artikeln om polcirkeln, anger att man under en molnfri midsommarnatt kan se en glimt av solen så mycket som 90 km söder om polcirkeln.

Ljusets brytning kan alltså sänka åskledarens nödvändiga höjd med flere kilometer.

Slutsats: Matematikern i mig känner sig kränkt

Vi matematiker klarar oss rätt väl i offer-olympiaden, tävlingen där man får ta illa vid sig och känna sig kränkt över att man inte blir visad tillbörlig hänsyn av andra.

Den tävlingen är nämligen öppen för alla minoriteter, inte bara sådana som baserar sig på kön, ras, vikt, språk eller sexuell läggning.

Och egentligen är jag ju inte matematiker, utan bara matematiskt intresserad, men jag har känslan (och det är ju den som räknas!) att makten att definiera Vad Som Räknas Som Fint sitter i humanioramaffians händer.

Men den som väljer att öppna hjärtat och nyfikenheten för matematiken, den har många vackra upplevelser att se fram emot.

Text: Kaj Arnö, Nagutysk, it-entrepenör, bland annat.

Läs också

Nyligen publicerat - Kultur och nöje