SV – Matematik, kort lärokurs

22.9.2020

Provet består av 13 uppgifter, av vilka tio uppgifter ska lösas. Uppgifterna är indelade i tre delar. Del A består av fyra obligatoriska uppgifter. Del B1 består av fem uppgifter av vilka tre ska lösas. Del B2 består av fyra uppgifter av vilka tre ska lösas. Alla uppgifter bedöms med 0–12 poäng, vilket betyder att provets maximala antal poäng är 120.

I del A får du använda tabellbok och de basprogram som ingår i provsystemet. Del A återlämnas med hjälp av tryckknappen efter uppgift 4. Efter detta kan svaren i del A inte längre redigeras och alla program i provsystemet kan användas. Dessutom kan du använda din egen räknare. Du kan även lösa uppgifterna i B-delarna innan du lämnat in del A.

I de flesta uppgifter skrivs lösningarna till alla deluppgifter in i samma svarsfält. Dela in ditt svar enligt deluppgifterna. Om du vill kan du skapa figurer, diagram eller tabeller som stöd för svaret och bifoga en skärmdump av dem till vilket textsvar som helst.

Lämna inga anteckningar i svarsfältet för sådana uppgifter som du inte vill lämna in för bedömning.

Del A

Besvara fyra uppgifter.

1. Basuppgifter 12 p.

Skriv endast uträkningarnas slutliga resultat utan mellansteg och motiveringar i svarsrutorna. I den här uppgiften kan du inte använda skärmdumpar eller formeleditor. Svaret på varje deluppgift 1.3.–1.6. har maximilängden 10 tecken. Svaren bedöms med hjälp av dator och om instruktionerna inte följs kan det leda till poängavdrag.

1.1. Av talföljderna nedan kan endast en vara en geometrisk talföljd. Vilken? 2 p.

1.2. Vilken av de tre ekvationerna nedan har en parabel som graf? 2 p.

1.3. Kilometerdebiteringen för en taxi är 1,55 €/km. Dessutom måste man betala en grundavgift på 5,90 €. Beräkna priset för en 5,0 km lång taxiresa. 2 p.

Svar:

1.4. Beräkna arean av en cirkelsektor med en noggrannhet på en kvadratmillimeter, då medelpunktsvinkelns storlek är 40 ^\circ och cirkelns radie är 34 mm. 2 p.

Svar: mm2

1.5. Vilket är det största nollstället för funktionen f(x)=-x^2+6x-8 f ( x ) = x 2 + 6 x 8 ? 2 p.

Svar:  x x =

1.6. Vilket är det största värdet av funktionen f(x)=-x^2+6x-8 f ( x ) = x 2 + 6 x 8 ? 2 p.

Svar:

2. Ekvationer 12 p.

Lös följande ekvationer. Ange svarens närmevärden med två decimalers noggrannhet.

  1. x^2 = 7 x 2 = 7   (3 p.)
  2. 7x^5 + 2 = -3x^5 + 4 7 x 5 + 2 = 3 x 5 + 4    (3 p.)
  3. (3^x)^3\cdot 3^4 = 3^{11} ( 3 x ) 3 3 4 = 3 11  (3 p.)
  4. 13^x = 147 13 x = 147   (3 p.)
 

3. Räta linjer och triangel 12 p.

  1. Ekvationen för linjen S_1 S 1 är 2x+5y=7 2 x + 5 y = 7 . Linjen S_2 S 2 går genom punkterna (-1,-1) ( 1 , 1 ) och (2,5) ( 2 , 5 ) . Bestäm skärningspunkten för linjerna S_1 S 1 och S_2 S 2 . (6 p.)
  2. En triangel har hörnpunkterna (0,0) ( 0 , 0 ) , (2,3) ( 2 , 3 ) och (-1,4) ( 1 , 4 ) . Beräkna storleken på den av triangelns vinklar som ligger i origo med en grads noggrannhet och det exakta värdet av längden på den motstående sidan till denna vinkel. (6 p.)
 

4. Blodgrupp eller Största värde 12 p.

Lös uppgiften 1. Blodgrupp ELLER uppgiften 2. Största värde.

  1. Blodgrupp: En människas blodgrupp är någon av typerna A, B, AB eller O. I Finland är blodgruppen A:s andel 41 %, B:s 18 %, AB:s 8 % och O:s 33 %. Med vilken sannolikhet har två slumpmässigt valda personer samma blodgrupp? (12 p.)
  2. Största värde: Bestäm med hjälp av derivatan det största värdet av funktionen f(x)=\frac{4}{3}x^3 - x + 4 f ( x ) = 4 3 x 3 x + 4 i intervallet 0\le x\le 1 0 x 1 . (12 p.)

Skriv i detta svarsfält in lösningen till uppgift 1. Blodgrupp ELLER till uppgift 2. Största värde.

 

Du får tillgång till de blockerade räknarprogrammen efter att du returnerat del A.

Del B1

Besvara tre uppgifter.

5. Förändring av markanvändningen 12 p.

I den mellanstatliga klimatpanelens (IPCC) rapport år 2019 utnyttjades statistik om markanvändningen från år 2015 (material 5. A). Enligt statistiken använder människan 72 % av den isfria landytan och de resterande 28 % är oanvänd mark. Vi antar att markanvändningen förändras på följande sätt mellan åren 2015 och 2030:

  • En övergång till mera växtbaserad kost minskar betesmarkernas yta med tio procent. Den här ytan omvandlas till odlingsmark.
  • Fem procent av den oanvända delen tas i bruk som ekonomiskog.

Beräkna utifrån dessa antaganden de procentuella andelarna för de olika typerna av markanvändning år 2030.

 

6. Abiturienter på restaurang 12 p.

En grupp abiturienter äter på restaurang och beslutar sig för att vid betalningen ge servitören 10 % av räkningens slutsumma i dricks. Om varje abiturient betalar 25 euro blir det sammanlagt 3 euro mer än räkningens slutsumma, men pengarna skulle inte räcka till för att täcka 10 % dricks. Om varje abiturient betalar 27 euro så täcker den ihopsamlade summan pengar dricksen, och servitören skulle få 80 cent i extra dricks utöver dricksen på 10 %. Hur stor är räkningens slutsumma och hur många abiturienter består gruppen av?
 

7. Tandkräm ur en tub 12 p.

I en tandkrämstub finns 90 ml tandkräm, och diametern på den cirkulära tubmynningen är 6 mm. Räcker en tandkrämstub i tre månader för en familj bestående av fyra personer, då varje familjemedlem borstar tänderna på morgonen och kvällen och klämmer ut 5 mm tandkräm på sin tandborste varje gång tänderna borstas?
 

8. Rekursiva modeller 12 p.

  1. På ett sparkontos saldo betalas årligen 2 % nettoränta, och efter detta sätts 100 euro in på kontot. Kontots saldo a_n a n kan beskrivas med rekursionsformeln

    a_{n+1} = 1{,}02 a_n + 100, \ n\ge 1. a n + 1 = 1 , 02 a n + 100 ,   n 1.

    Startvärdet är a_1=1000 a 1 = 1000 . Beräkna a_5 a 5 , dvs. saldot efter fyra år. (6 p.)

  2. Forskare har skapat en modell för storleken på en korppopulation med hjälp av följande rekursionsformler:

    p_{n+1} = 0{,}95 p_n + 0{,}02 e_n, p n + 1 = 0 , 95 p n + 0 , 02 e n ,

    e_{n+1} = p_n + e_n (1-0{,}01 e_n), e n + 1 = p n + e n ( 1 0 , 01 e n ) ,

    där p_n p n är antalet häckande korpar och e_n e n är antalet icke-häckande korpar år n\ge 1. n 1. Startvärdena är p_1=12 p 1 = 12 och e_1=23 e 1 = 23 . Beräkna p_2 p 2 och e_3. e 3 . (6 p.)
 

9. Skarvar 12 p.

Tabell 9. A visar antalet skarvbon i olika samhällen år 2019. Samhällen som ligger i samma kommun har i tabellen betecknats med nummer, till exempel Kyrkslätt 1 och Kyrkslätt 2.

  1. Hur många skarvbon fanns det år 2019 enligt materialet? (2 p.)
  2. Ta reda på vilket samhälle som var minst och vilket som var störst. Bestäm också medelvärde och standardavvikelse för antalet skarvbon som tillhör samma samhälle. (3 p.)
  3. Materialet klassificeras i klasser som är en standardavvikelse långa så att medelvärdet är en klassgräns. Till vilken klass hör skarvsamhället i Karleby? (3 p.)
  4. Bestäm det klassificerade materialets relativa frekvenser och beskriv den klassificerade fördelningen i ord. (4 p.)
 

Del B2

Besvara tre uppgifter.

10. Test av betalningsförmåga 12 p.

Då en privatperson tar ett bostadslån vill banken i allmänhet göra ett test av betalningsförmågan. Målet är att försäkra sig om att personen klarar av möjliga stigande räntor i framtiden. Annika beviljas ett lån på 100 000 euro med 1,2 % årsräntesats. Banken har gjort ett test av betalningsförmågan med en årsräntesats på 6,0 %. Annuitetslånets återbetalningstid är 15 år.

  1. Hur mycket pengar måste Annika ha till förfogande varje månad för återbetalningen av lånet för att hon ska klara testet av betalningsförmågan? (6 p.)
  2. Gör en beräkning med tabell 10. A som modell, av vilken det återstående lånebeloppet varje månad samt de 12 första månadernas räntor, amorteringar och annuiteter framgår. Lånet lyfts i dag och den första amorteringen görs om en månad. (6 p.)
 

11. Trianglar i en kvadrat 12 p.

En kvadrat har hörnpunkterna (0,0), (10,0), (10,10) ( 0 , 0 ) , ( 10 , 0 ) , ( 10 , 10 ) och (0,10) ( 0 , 10 ) . I kvadraten väljs en punkt P P , som förbinds med sträckor till varje hörn i kvadraten. På detta sätt bildas fyra trianglar. Vi betecknar trianglarna och deras areor med bokstäverna A, B, C A , B , C och D D .

  1. Rita en figur av situationen. (3 p.)

  2. Bestäm de exakta värdena på punkten P P :s koordinater då A A befinner sig till vänster, B B uppe, C C nere och D D till höger i figuren och det för areornas förhållanden gäller att

    A : B : C: D = 1 : 2 : 3 : 4. A : B : C : D = 1 : 2 : 3 : 4.
    (9 p.)

 

12. Korrelationer 12 p.

12.1. Bedöm på basis av din allmänbildning vilket av alternativen som bäst beskriver korrelationen mellan följande variabler. Korrekt svar 1 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p. 4 p.

längd och vikt på finländska barn

 
 
positiv korrelation
korrelationen är nära noll
negativ korrelation
1 p.

skonummer och blodtryck hos finländska vuxna

 
 
positiv korrelation
korrelationen är nära noll
negativ korrelation
1 p.

ett lands bruttonationalprodukt per invånare och barndödlighet

 
 
positiv korrelation
korrelationen är nära noll
negativ korrelation
1 p.

lodräta och vågräta koordinater för pilar som träffat en piltavla

 
 
positiv korrelation
korrelationen är nära noll
negativ korrelation
1 p.

12.2. Besvara följande deluppifter som gäller korrelation och orsakssamband. 8 p.

  1. Förklara med egna ord vad som avses med korrelation mellan två variabler. (4 p.)
  2. Ofta varnas det för att statistisk korrelation inte är samma sak som ett orsakssamband (sambandet orsak–verkan) mellan två variabler. Ge ett exempel på en konkret situation där två variabler inte har ett orsakssamband, men där de ändå klart korrelerar med varandra. Det behövs inga uträkningar som stödjer exemplet, utan en motivering i ord räcker. (4 p.)
 

13. Teckenschema för ett polynom 12 p.

Vi undersöker en polynomfunktion av tredje graden p(x)=ax^3+bx^2+cx+d p ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d . Teckenschemat för funktionens derivata är följande:



Dessutom vet vi att grafen till funktionen p(x) p ( x ) går genom origo och punkterna (-1,7) ( 1 , 7 ) och (2,-20) ( 2 , 20 ) .

  1. För vilka värden på variabeln x x är p'(x)=0 p ( x ) = 0 ? (2 p.)

  2. Bestäm funktionen p(x) p ( x ) . (6 p.)

  3. Bestäm p'(x) p ( x ) . (4 p.)

 

Kontrollera att du har svarat på det antal uppgifter som anges i instruktionerna. Lämna inga anteckningar i svarsfältet för sådana uppgifter som du inte vill lämna in för bedömning.