SV – Matematik, kort lärokurs

18.3.2020

Provet består av 13 uppgifter, av vilka tio uppgifter ska lösas. Uppgifterna är indelade i tre delar. Del A består av fyra obligatoriska uppgifter. Del B1 består av fem uppgifter av vilka tre ska lösas. Del B2 består av fyra uppgifter av vilka tre ska lösas. Alla uppgifter bedöms med 0–12 poäng, vilket betyder att provets maximala antal poäng är 120.

I del A får du använda tabellbok och de basprogram som ingår i provsystemet. Del A återlämnas med hjälp av tryckknappen efter uppgift 4. Efter detta kan svaren i del A inte längre redigeras och alla program i provsystemet kan användas. Dessutom kan du använda din egen räknare. Du kan även lösa uppgifterna i B-delarna innan du lämnat in del A.

I de flesta uppgifter skrivs lösningarna till alla deluppgifter in i samma svarsfält. Dela in ditt svar enligt deluppgifterna. Om du vill kan du skapa figurer, diagram eller tabeller som stöd för svaret och bifoga en skärmdump av dem till vilket textsvar som helst.

Lämna inga anteckningar i svarsfältet för sådana uppgifter som du inte vill lämna in för bedömning.

Del A

Besvara fyra uppgifter.

1. Förenkling 12 p.

Avlägsna parenteserna och förenkla uttrycken.
Motivera inte svaren i den här uppgiften. I den här uppgiften kan du inte använda skärmdumpar eller formeleditorn, vilket betyder att andra potensen x^2 x 2 skrivs i svarsfältet i formen x^2. Svaret till varje deluppgift har maximilängden 30 tecken.

1.1. Avlägsna parentesen och förenkla uttrycket. 2 p.

5y-(3y-1) 5 y ( 3 y 1 ) =

1.2. Avlägsna parentesen och förenkla uttrycket. 2 p.

6(2x-8) 6 ( 2 x 8 ) =

1.3. Avlägsna parenteserna och förenkla uttrycket. 2 p.

(x+4)(x-4) ( x + 4 ) ( x 4 ) =

1.4. Avlägsna parentesen och förenkla uttrycket. 2 p.

(4x-2)^2 ( 4 x 2 ) 2 =

1.5. Avlägsna parentesen och förenkla uttrycket. 2 p.

\frac{9(xy)^2}{-3x} 9 ( x y ) 2 3 x =

1.6. Avlägsna parenteserna och förenkla uttrycket. 2 p.

2x(3x-y)-(2y+2x)(x-3y) 2 x ( 3 x y ) ( 2 y + 2 x ) ( x 3 y ) =

2. Bråktal 12 p.

Utför beräkningarna med bråken i deluppgifterna 2.1.–2.4. nedan, och lös ekvationen i deluppgift 2.5.
Motivera inte svaren i den här uppgiften. I den här uppgiften kan du inte använda skärmdumpar eller formeleditorn, vilket betyder att bråket \frac{x}{y} x y skrivs i formen x/y. Svaret till varje deluppgift har maximilängden 10 tecken.

Endast exakt värde duger som svar.

2.1. Utför beräkningen med bråken. 2 p.

1 \frac7{15} - \frac9{15} 1 7 15 9 15 =

2.2. Utför beräkningen med bråken. 2 p.

\frac37 + \frac1{3} 3 7 + 1 3 =

2.3. Utför beräkningen med bråken. 2 p.

\frac14 \cdot 3\frac2{7} 1 4 3 2 7 =

2.4. Utför beräkningen med bråken. 2 p.

\frac38 : \frac6{11} 3 8 : 6 11 =

2.5. Lös ekvationen \frac13x+\frac14 = \frac15 x + \frac16 1 3 x + 1 4 = 1 5 x + 1 6 . 4 p.

x = x =  

3. Klassificering av modeller 12 p.

Nedan presenteras sex modeller. Märk för varje uttryck ut om den beskriver ett direkt proportionellt, eller ett omvänt proportionellt beroende. Välj dessutom om det är fråga om en polynomiell eller en expontiell modell. Rätt svar 1 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p.

Svaren behöver inte motiveras.

Uttryck Beroende Modellens typ
\frac{3}{y} 3 y
1 p. 1 p.
2^{x-0{,}6} 2 x 0 , 6
1 p. 1 p.
\frac{4 t-2}{3} 4 t 2 3
1 p. 1 p.
x^2+3x-1 x 2 + 3 x 1
1 p. 1 p.
7t+3t 7 t + 3 t
1 p. 1 p.
\frac{4x+2}{2x^2+x} 4 x + 2 2 x 2 + x
1 p. 1 p.

4. Nations League 12 p.

Fotbollsturneringen Nations League arrangerades första gången år 2018. Turneringen spelas enligt följande regler:

  • Lagen är indelade i fyra divisioner: A, B, C och D.
  • Divisionerna A och B består av 12 lag vardera, och lagen i respektive division är indelade i fyra trelagsgrupper.
  • Divisionerna C och D består av 15 lag vardera, och lagen i respektive division är indelade i en grupp med tre lag och tre grupper med fyra lag.
  • I varje grupp spelar varje lag två gånger mot alla övriga lag i gruppen: en hemmamatch och en bortamatch.
  • De fyra gruppvinnarna i division A spelar ett slutspel bestående av två semifinalmatcher, en bronsmatch och en final.

Hur många matcher spelas i en Nations League-turnering?

 

Du får tillgång till de blockerade räknarprogrammen efter att du returnerat del A.

Del B1

Besvara tre uppgifter.

5. Times Square 12 p.

Bedöm utifrån uppgifterna i texten 5. A hur många människor som borde rymmas på en kvadratmeter om firarna faktiskt skulle vara två miljoner till antalet. Beräkna hur många kvadratcentimeter mark var och en av de två miljoner personerna i medeltal skulle ha under sina fötter om firarna var två miljoner. Bedöm också om detta är mer eller mindre än arean av en vuxen persons fotsulor.
 

6. Statistik om barnfamiljer 12 p.

I tabellen 6. A presenteras antalet barn i Finlands barnfamiljer i slutet av år 2017.

  1. Beräkna typvärde, median och medelvärde för antalet barn i barnfamiljerna. (6 p.)
  2. Vad är medelvärdet av antalet syskon till ett barn i en finländsk barnfamilj? (6 p.)
 

7. Chokladask 12 p.

Chokladkonfektasken på bilden 7. A har formen av ett prisma, vars basyta är en regelbunden åttahörning. Längden på åttahörningens sida är 4,2 cm och askens höjd är 6,6 cm. Beräkna askens volym.
 

8. Hur en funktion avtar 12 p.

Undersök med hjälp av derivatan i vilken punkt i intervallet -1\le x\le 3 1 x 3   funktionen  f(x)=2x^2-x+5 f ( x ) = 2 x 2 x + 5 avtar snabbast.
 

9. Periodicitet / Tärningskast 12 p.

Om du väljer den här uppgiften löser du antingen 1. Periodicitet ELLER 2. Tärningskast. Du kan välja vilken som helst av uppgifterna oberoende av enligt vilken läroplan du studerat.

  1. Periodicitet (Gamla läroplanen, de som påbörjat gymnasiet före 1.8.2016) (12 p.)

    Vilken funktion har kortare period: f(t)=\sin(3t) f ( t ) = sin ( 3 t ) eller g(t)=\cos^2(2t) g ( t ) = cos 2 ( 2 t ) ? Motivera ditt påstående.

  2. Tärningskast (Nya läroplanen, de som påbörjat gymnasiet 1.8.2016 eller senare) (12 p.)

    En tärning kastas 10 gånger. Vilken är sannolikheten för att man får exakt 2 sexor?

Skriv i det här svarsfältet in lösningen på endera uppgift 1. Periodicitet ELLER uppgift 2. Tärningskast.

 

Del B2

Besvara tre uppgifter.

10. Stickföretag 12 p.

Grannarna Paul och Johanna beslutar sig för att starta ett företag som ska tillverka tröjor för barn.

  1. Företaget säljer tröjor för 70 euro per tröja. Hur många beställningar behövs under en månad för att intäkterna ska täcka de utgifter som är uppräknade i tabellen 10. A? (4 p.)
  2. Paul och Johanna tycker att det skulle vara bra om företaget gjorde vinst och funderar på att detta kunde uppnås om man tillverkade och sålde 100 tröjor per månad. Räcker det garn som reserverats per månad för detta, då merinoullgarn kostar 39 euro per kilogram och då det till en tröja behövs 250 gram garn? (4 p.)
  3. Som nybörjarföretagare har Paul och Johanna lämnat mervärdesskatten och semestrar obeaktade i sina beräkningar. Redogör för hur dessa faktorer påverkar storleken på de försäljningsintäkter som företaget behöver för att vara lönsamt. Information om mervärdesskatten finns i texten 10. B. (4 p.)
 

11. Tetraeder 12 p.

I tetraedern ABCD A B C D är AB = AC = BC = AD = BD = 1 A B = A C = B C = A D = B D = 1 . Vilken är tetraederns största möjliga volym?

Du kan använda GeoGebra-datafilen 11. A för att åskådliggöra situationen, men det är inte nödvändigt för själva lösningen. Kom också ihåg att endast prövning inte räcker för att motivera ett matematiskt påstående.

 

12. Ett polynom av andra graden 12 p.

Vi undersöker ett polynom p(x) p ( x ) av andra graden. Vi känner endast till att polynomets värde i punkten x = −2 x = 2 är negativt och att dess värde i punkten x = 1 x = 1 är positivt. Kan vi utifrån denna information bestämma förtecknet på termen x^2 x 2 eller antalet lösningar till ekvationen p(x) = 0 p ( x ) = 0 ?
 

13. Marias fel 12 p.

Maria har löst följande uppgift: Bestäm det största värdet av funktionen 2x^3 -7x^2+5x 2 x 3 7 x 2 + 5 x  då  -1\le x\le 3 1 x 3 . Hennes lösning är följande:

Det största värdet, dvs. maximivärdet hittar vi med hjälp av derivatan, med andra ord 6x^2-14x+5=0 6 x 2 14 x + 5 = 0 . Vi får med rotformeln x=\frac{7\pm \sqrt{16}}{6} x = 7 ± 16 6 dvs. x=\frac{3}6=\frac12 x = 3 6 = 1 2 eller x=\frac{11}{6} x = 11 6 . Med hjälp av ett teckenväxlingsschema ser vi att det förstnämnda av dessa är ett maximiställe, vilket betyder att funktionens största värde är
6\cdot(\frac12)^2-14\cdot \frac12 + 5 = -\frac12\, 6 ( 1 2 ) 2 14 1 2 + 5 = 1 2 .

Förklara vilka fel som finns i Marias lösning. Presentera också en korrigerad version av lösningen.

 

Kontrollera att du har svarat på det antal uppgifter som anges i instruktionerna. Lämna inga anteckningar i svarsfältet för sådana uppgifter som du inte vill lämna in för bedömning.