SV – Matematik, lång lärokurs

24.3.2021

Provet består av 13 uppgifter, av vilka tio uppgifter ska lösas. Uppgifterna är indelade i tre delar. Del A består av fyra obligatoriska uppgifter. Del B1 består av fem uppgifter av vilka tre ska lösas. Del B2 består av fyra uppgifter av vilka tre ska lösas. Alla uppgifter bedöms med 0–12 poäng, vilket betyder att provets maximala antal poäng är 120.

I del A får du använda den tabellbok och de basprogram som ingår i provsystemet. Del A återlämnas med hjälp av tryckknappen efter uppgift 4. Efter detta kan svaren i del A inte längre redigeras och alla program i provsystemet kan användas. Du kan även lösa uppgifterna i B-delarna innan du lämnat in del A.

I de flesta uppgifter skrivs lösningarna till alla deluppgifter in i samma svarsfält. Dela in ditt svar enligt deluppgifterna. Om du vill kan du skapa figurer, diagram eller tabeller som stöd för svaret och bifoga en skärmdump av dem till vilket textsvar som helst.

Lämna inga anteckningar i svarsfältet för sådana uppgifter som du inte vill lämna in för bedömning.

Del A

Besvara fyra uppgifter.

1. Talföljder och funktioner 12 p.

Rätt svar 2 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p.

1.1 Talföljden (1, 2, 4, 7, . . . ) 2 p.

 kan vara aritmetiskkan vara geometriskkan vara både aritmetisk och geometriskkan varken vara aritmetisk eller geometrisk

1.2 Talföljden (32, 16, 8, 4, . . . ) 2 p.

 kan vara aritmetiskkan vara geometriskkan vara både aritmetisk och geometriskkan varken vara aritmetisk eller geometrisk

1.3 Talföljden (7, 9, 11, 13, . . . ) 2 p.

 kan vara aritmetiskkan vara geometriskkan vara både aritmetisk och geometriskkan varken vara aritmetisk eller geometrisk

1.4 Anta att f(x)=(2-x)^2 f ( x ) = ( 2 x ) 2 . Då är funktionsvärdet f(-1) f ( 1 ) 2 p.

  -10 10 -9 9 -8 8 -7 7 -6 6 -5 5 -4 4 -3 3 -2 2 -1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10

1.5 Anta att f(x)=2x^2-x f ( x ) = 2 x 2 x . Då är värdet av derivatan f'(1) f ( 1 ) för funktionen 2 p.

  -10 10 -9 9 -8 8 -7 7 -6 6 -5 5 -4 4 -3 3 -2 2 -1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10

1.6 Värdet på derivatan av en funktion anger 2 p.

 funktionens värdefunktionens största värdefunktionens maximiställeriktningskoefficienten för tangenten till funktionens grafarean av det område som begränsas av funktionens graf och x x -axeln

2. Vektorer och analytisk geometri 12 p.

Anta att \overline{u}=5\, \overline{i} + 12 \, \overline{j} u ¯ = 5 i ¯ + 12 j ¯ .
  1. Bestäm längden av vektorn \overline{u} u ¯ . (3 p.)

  2. Bestäm den vektor som är parallell med och har motsatt riktning som vektorn \overline{u} u ¯ , och vars längd är 5. (3 p.)

  3. Den räta linjen L L går genom punkterna A=(4,4) A = ( 4 , 4 ) och B=(-1,-8) B = ( 1 , 8 ) . Är linjen L L och vektorn \overline{u} u ¯ parallella? (3 p.)

  4. Bestäm ekvationen för linjen L L i formen y=kx+b. y = k x + b . (3 p.)

 

3. Integralen av en rationell funktion 12 p.

Varje deluppgift kan ge 4 poäng.

  1. Visa att ekvationen

    \frac{4}{4-x^2} =\frac{1}{2+x}+\frac{1}{2-x} 4 4 x 2 = 1 2 + x + 1 2 x

    är giltig för varje x\neq \pm 2. x ± 2.

  2. Beräkna integralen

    \int_{-1}^1\frac{1}{2+x}\, dx. 1 1 1 2 + x d x .

  3. Beräkna integralen

    \int_{-1}^1\frac{1}{4-x^2}\, dx. 1 1 1 4 x 2 d x .

 

4. Svallvåg 12 p.

  1. Visa att det största värdet M M av funktionen

    f(x) = \frac{\tan x}{2+\tan^2 x} f ( x ) = tan x 2 + tan 2 x

    i intervallet 0\le x < \frac\pi2 0 x < π 2 är M=\frac{\sqrt{2}}{4}\approx 0{,}3536. M = 2 4 0,353 6. Grafen till funktionen presenteras i figur 4.A. (9 p.)

  2. Bakom en kropp (till exempel en båt eller en and) som rör sig på vattenytan med konstant hastighet bildas en V-formad svallvåg, vars öppningsvinkel under vissa villkor inte beror av kroppens hastighet. Enligt Kelvins vågteori gäller för denna vinkel \alpha α ekvationen

    \tan \frac \alpha2 = M, tan α 2 = M ,

    där M M är det beräknade värdet i deluppgift 1. Bestäm närmevärdet av vinkeln \alpha\in [0^{\circ}, 180^\circ] α [ 0 , 180 ] med en grads noggrannhet. (3 p.)

 

Du får tillgång till de blockerade räknarprogrammen efter att du returnerat del A.

Del B1

Besvara tre uppgifter.

5. Strandtomt 12 p.

Mats äger en skogsparcell som har formen av en rätvinklig triangel vid stranden av en sjö. Längderna på triangelns kateter är 150 m och 120 m. Den längre kateten ligger på den raka strandlinjen. Mats säljer den till arean största möjliga rektangelformade strandtomten ur sin parcell till Maria. Två av strandtomtens sidor ligger på skogsparcellens kateter. Vilka är sidornas längder på den strandtomt som Maria köpt?

 

6. Källarmästarens plan 12 p.

Vissa drycker och kryddsåser lagras i träkärl, och smakämnen från kärlets väggytor löser sig då i dem. En källarmästare har en teori enligt vilken den mängd smakämnen som under förvaringstiden löser sig i vätskan är direkt proportionell mot kvoten av förvaringskärlets area och volym. Källarmästaren planerar att lagra ett parti av en produkt i kärl som är likformiga med de vanliga kärlen, men vilkas volym bara är en fjärdedel av den vanliga volymen. Kärlens material och lagringstiden är desamma som för de normala kärlen.

Hur många procent mera smakämnen löser sig då i produkten enligt källarmästarens teori?

 

7. Afrikas stjärna 12 p.

Lisa spelar spelet Afrikas stjärna. Hon har hittat Afrikas stjärna och återvänder till Kairo för att vinna spelet (material 7.A). Hon är på fyra stegs avstånd från Kairo. Man får stanna i Kairo även om tärningens ögontal skulle berättiga till att resa längre.

Om hon kastar minst ögontalet fyra så kommer hon fram till Kairo och vinner spelet. Om hon kastar ögontalet tre så kan hon vara säker på att hon på följande kast kommer fram till Kairo och vinner spelet. Lisa behöver högst fyra kast för att komma fram till Kairo. Vi antar att ingen annan vinner spelet före det.

  1. Med vilken sannolikhet vinner Lisa på första kastet? (2 p.)
  2. Med vilken sannolikhet behöver Lisa minst tre kast för att komma fram till Kairo? (4 p.)
  3. Beräkna väntevärdet för antalet kast som Lisa behöver för att komma fram till Kairo. (6 p.)
 

8. Bedömning av en area genom simulering 12 p.

Punkterna (x,y) ( x , y ) i planmängden A A bestäms av olikheterna 0\le x\le 2 0 x 2 , 0\le y\le 4 0 y 4 och y\ge x^2. y x 2 . I den här uppgiften är målet att bedöma arean av mängden A A med hjälp av en simulering genom att använda teorin att sannolikheten är direkt proportionell mot arean. Vi lottar fram punkter (x,y) ( x , y ) ur rektangeln B, B , som definieras av olikheterna 0\le x\le 2 0 x 2 och 0\le y\le 4. 0 y 4.

  1. Gör med lämplig programvara en kod som lottar fram 1 000 punkter ur rektangeln B B och som svar skriver ut antalet punkter som tillhör mängden A. A . Beskriv i ord och med hjälp av lämpliga skärmdumpar hur du skapade din kod. (Ledtråd: Du kan exempelvis använda slumptalsgeneratorn i kalkylprogrammet.) (6 p.)
  2. Hillevi körde sin egen kod i deluppgift 1 tio gånger och fick talen nedan. Beräkna resultatens medelvärde och bedöm utifrån detta arean av mängden A. A . (6 p.)

    Utskrifter av Hillevis kod: 673, 664, 672, 679, 667, 650, 640, 678, 660, 667

 

9. Styckvis definierad funktion 12 p.

Funktionen f: \mathbf R\to \mathbf R f : R R definieras med formeln

f(x) = \begin{cases} x^3 + 1, & \text{då } x\le 0 \\ (ax+1)^2+a(1-a),& \text{då } x>0. \end{cases} f ( x ) = { x 3 + 1 , då  x 0 ( a x + 1 ) 2 + a ( 1 a ) , då  x > 0.

  1. Ta reda på vilka värden på parametern a\in \mathbf R a R som gör funktionen f f kontinuerlig överallt. (6 p.)
  2. Ta reda på vilka värden på parametern a\in \mathbf R a R som gör funktionen f f deriverbar överallt. (6 p.)
 

Del B2

Besvara tre uppgifter.

10. Matematisk text 12 p.

En matematisk text byggs bland annat upp av definitioner av begrepp, allmänt giltiga resultat (satser), bevis av resultaten och uträkningar tillämpade på specialfall (exempel).

  1. Bestäm för varje text i materialet 10.A (a)–(c) om det är fråga om en definition, en sats, ett bevis eller ett exempel. Svaren behöver inte motiveras i den här deluppgiften. (3 p.)
  2. Vilken sats visas vara korrekt med det bevis som du valt i deluppgift 1? Formulera satsens innehåll exakt så att sambandet mellan satsen och beviset framgår. (4 p.)
  3. I deluppgift 1 valde du en text som sats. Bevisa denna sats. (5 p.)
 

11. Hela tal 12 p.

  1. Vilket av talen

    99^{\large100^{101}}\quad \textrm{och}\quad 101^{\large100^{99}} 99 100 101 och 101 100 99

    är större? (4 p.)

  2. Talföljden (a_n) ( a n ) definieras rekursivt med formlerna a_1=1, a 1 = 1 , a_{2n}=a_n a 2 n = a n och a_{2n+1}=1-a_n, a 2 n + 1 = 1 a n , n=1,2,3,\ldots n = 1 , 2 , 3 , Bestäm talföljdens sjunde element a_7 a 7 och det 2021:a elementet a_{2021}. a 2021 . (8 p.)
 

12. Gömda bollar 12 p.

På ett bord ligger tre bollar som alla har radien 3. 3. Var och en av bollarna vidrör de två övriga. Man försöker täcka bollarna med en kupa som har formen av en halvsfär vars radie är R. R . Kupan är emellertid för liten, vilket betyder att dess kant i varje punkt ligger på 1 längdenhets höjd från bordet. Bestäm det exakta värdet av radien R. R .

 

13. Framställningsformer för polynom 12 p.

Anta att n\ge 1 n 1 är ett heltal och att \alpha_i\in \mathbf R, α i R , \alpha_i\ne 0 α i 0 , för varje heltal 0\le i\le n. 0 i n .

Vi undersöker polynomen

P(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots (x-\alpha_n) = p_n x^n + p_{n-1}x^{n-1} + \cdots + p_1 x + p_0 P ( x ) = ( x α 1 ) ( x α 2 ) ( x α n ) = p n x n + p n 1 x n 1 + + p 1 x + p 0

och

Q(x) = \left(x-\dfrac1{\alpha_1}\right)\left(x-\dfrac1{\alpha_2}\right)\cdots \left(x-\dfrac1{\alpha_n}\right) = q_nx^n + q_{n-1}x^{n-1} + \cdots + q_1 x + q_0. Q ( x ) = ( x 1 α 1 ) ( x 1 α 2 ) ( x 1 α n ) = q n x n + q n 1 x n 1 + + q 1 x + q 0 .

Här bestäms alltså koefficienterna p_i p i och q_i q i utifrån ekvationerna med hjälp av de givna talen \alpha_j. α j .

  1. Beräkna alla tal p_i p i och q_i q i , då n=2 n = 2 , \alpha_1=2 α 1 = 2 och \alpha_2=3. α 2 = 3. (2 p.)
  2. Lös ut alla tal p_j p j och q_i q i med hjälp av talen \alpha_1 α 1 och \alpha_2 α 2 i fallet n=2. n = 2. (4 p.)
  3. Framställ talen q_i q i med hjälp av talen p_j p j (0\le i\le n, ( 0 i n , 0\le j\le n) 0 j n ) i det allmänna fallet. (6 p.)
 

Kontrollera att du har svarat på det antal uppgifter som anges i instruktionerna. Lämna inga anteckningar i svarsfältet för sådana uppgifter som du inte vill lämna in för bedömning.