SV – Matematik, lång lärokurs

Välj korrekt alternativ. Svaren behöver inte motiveras. Korrekt svar 2 p., fel svar 0 p., inget svar 0 p.

1. Bestäm mittpunkten på sträckan AB, då A=(5, 5) och B=(-2, \frac32). (4 p.)

2. Lös ekvationen |3x+4| = 5. (4 p.)

3. Bestäm medelpunkten och radien i cirkeln x^2+y^2+2x - 8 = 0. (4 p.)

1. Bestäm \displaystyle\int (-2x^2+6x-4)\, dx. (4 p.)

2. Bestäm arean av det begränsade område som ligger mellan kurvorna y = (x-1)(3-x) och y = (x-1)^2. (8 p.)

1. Vilket av bråktalen

   A=\frac{333\,333\,331}{333\,333\,334} \quad\text{och}\quad B=\frac{222\,222\,221}{222\,222\,223}

   är större? (3 p.)

2. Vilket av bråktalen

   C=\frac{\overbrace{333\cdots 3}^{2022\ \text{st.}}\!1}{\underbrace{333\cdots 3}_{2022\ \text{st.}}\!4} \quad\text{och}\quad D=\frac{\overbrace{222\cdots 2}^{2022\ \text{st.}}\!1}{\underbrace{222\cdots 2}_{2022\ \text{st.}}\!3}

   är större? Här betyder vågparentesen att exempelvis talet C:s nämnare består av 2022 stycken treor och efter det en fyra. (9 p.)

Vi granskar vektorerna

\overline{a} =\overline{ i} + 2 \, \overline{j} + 3\, \overline{k} \quad \text{och}\quad \overline{b} = 3\, \overline{i} + 2\, \overline{j} + \overline{k}.

1. Beräkna \overline{a}-\overline{b}. (3 p.)

2. Beräkna \overline{a} \cdot \overline{b}. (3 p.)

3. Ligger punkten (4, 6, 8) på den linje som går genom origo och som har samma riktning som vektorn \overline{a}? (6 p.)

Oskar har undersökt sidornas längder i rätvinkliga trianglar genom att använda GeoGebra och observerat att

1. hypotenusan alltid är längre än kateterna (6 p.)

2. hypotenusans längd alltid är mindre än summan av kateternas längder. (6 p.)

Motivera båda observationerna algebraiskt med hjälp av Pythagoras sats.

Av 99 små röda kuber, som sinsemellan är lika stora, sammanställs tre stora kuber som består av 8, 27 och 64 delar. Sidorna i dessa tre stora kuber målas med blå färg. Efter målandet tas de stora kuberna isär så att de åter bildar 99 små kuber.

1. En liten kub väljs slumpmässigt ut. Med vilken sannolikhet är den valda kubens alla sidor röda? (6 p.)

2. Tre små kuber väljs slumpmässigt ut. Med vilken sannolikhet är alla sidor röda på åtminstone en av de valda kuberna? (6 p.)

Bestäm alla heltalslösningar till ekvationen x^6+2x^3y^3+y^6=4225, då x>0 och y>0.

Vi undersöker polynomet f(x) = x^4 + a x^2 + bx + c, då a > 0 och x\in \mathbf R.

1. Visa att derivatan f' är en strängt växande funktion. (4 p.)

2. Visa att ekvationen f(x) = 0 har högst två olika reella rötter. (8 p.)

Aron och Siri spelar ett talspel som de själva hittat på. De skriver turvis ner något tal 1, 2, \ldots, 10 på ett papper. Man får inte skriva ner ett tal som utgör en faktor till ett tal som redan står skrivet på pappret. Den som inte kan skriva ner ett nytt tal på pappret förlorar.

1. Aron inleder spelet genom att skriva ner talet 8. Vilka är de tal som Siri efter det kan skriva ner då det blir hennes tur? (3 p.)

2. Ge ett exempel på hur ett spel kan framskrida till slut om Aron inleder med att skriva ner talet 8. Här räcker det om du anger de tal som skrivs ner i ordningsföljd utan motiveringar. (3 p.)

3. Då Siri får börja spelet har hon följande strategi:

   • Börja med att skriva ner talet 6 på pappret.

   • Bilda paren (4, 5), (7, 9) och (8, 10). Då motspelaren skriver ner sitt eget tal så skriver du ner paret till detta tal. Fortsätt på detta sätt tills spelet avslutas.

   En spelomgång kan alltså framskrida på exempelvis följande sätt: Siri skriver ner talet 6. Aron skriver ner talet 7 på pappret, varefter Siri skriver ner talet 9. Aron skriver ner talet 10 på pappret, varefter Siri skriver ner talet 8 på pappret och vinner spelet.
   

   Siri spelar enligt sin strategi och inleder spelet genom att skriva ner talet 6 på pappret. Aron skriver ner talet a på pappret, sedan skriver Siri ner talet b på pappret, varefter Aron skriver ner talet c. Nu skriver Siri ner talet 9, men vinner ännu inte spelet. Vilka är de olika alternativen för talen a, b och c? (6 p.)

Arean av det område som begränsas av grafen till en positiv funktion f och x-axeln kan uppskattas med hjälp av trapetsregeln genom att man adderar areor av trapetser. Delintervallet [x_k, x_{k+1}] motsvararar en trapets vars hörnpunkter är (x_k, 0), (x_k, f(x_k)), (x_{k+1}, f(x_{k+1})) och (x_{k+1}, 0). Observera att delintervallen inte behöver vara lika långa.

Vi granskar arean A av det område som begränsas av grafen till funktionen f(x)=\sin(3x^2)+2 och x-axeln i intervallet 1\leq x\leq 3. Vi uppskattar arean med hjälp av trapetsregeln genom att använda indelningspunkterna 1, \frac32, 2 och 3.

1. Rita grafen av funktionen f och de trapetser som bildas av den indelning som angetts ovan. (3 p.)

2. Närmevärdet för arean är med sex decimalers noggrannhet A\approx 3{,}862\,059. Vi uppskattar arean med hjälp av trapetsregeln genom att använda den ovan angivna indelningen. Beräkna trapetsernas areor, hela arean A' som trapetsmetoden ger samt det absoluta felet |A'-A|. (7 p.)

3. På vilket sätt kan man förbättra noggrannheten i den metod som används i föregående deluppgift? (2 p.)

1. Anta att 0\leq a\leq \frac{\pi}{2}. Visa att

   \sin a+\sin \left(\frac{\pi}{2}-a\right) \leq 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right).

   (4 p.)

2. Anta att n är ett positivt heltal. Visa att

   \sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right) = \frac{1}{2}\sum_{k=0}^n\left(\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)+\sin\left(\frac{\pi}{2n}(n-k)\right)\right).

   (4 p.)

3. Anta att n är ett positivt heltal. Visa att

   \sum_{k=0}^n\sin\left(\frac{\pi}{2n}k\right)\leq \frac{n+1}{\sqrt{2}}.

   (4 p.)

1. Derivatan definieras som gränsvärdet av en differenskvot. Framställ den geometriska tolkningen av derivatans definition med hjälp av funktionen f(x)=\ln x i punkten x=2. (4 p.)

2. Visa med hjälp av derivatans definition att derivatan till funktionen f(x)=\ln x är f'(x)=\frac{1}{x}, då x > 0. Du kan använda informationen

   \lim_{t\to 0} {(1+t)^{1/t}} = e.

   (8 p.)